О теоретическом методе разработки детерминированных моделей статики и динамики систем автоматического управления

Кроме перечисленных выше этапов (выде­ление объекта, выбор вида математической модели систем автоматического управления и способа ее разработки) при исполь­зовании теоретического метода построения модели необходимо реализовать выбранный способ разработки модели, разработать мо­делирующий алгоритм и проверить адекват­ность модели объекту. Реализация вы­бранного способа для автоматики объектов химической и других подобных технологий осуществляется в определенной последовательности.

1. Составляется уравнение материального и энергетического баланса:

для статической модели систем автоматического управления:

• приток вещества — сток вещества;
• приток тепловой энергии = сток тепловой энергии;

для динамической модели систем автоматического управления:

• приток вещества = сток вещества=накопление вещества;
• приток тепловой энергии = сток тепловой
• энергии = накопление тепловой энергии.

2. Для введения в уравнение баланса основных переменных объекта моделирования автоматики проводят анализ отдельных «элементарных» процессов. Вначале исследуют гидродинамическую модель процесса как основу структуры математического описания. Далее изучают кинетику химических реакций, процессов массообмена и теплообмена с учетом гидродинамических условий и составляют математическое описание каждого из этих процессов систем автоматического управления. На заключительном этапе объединяют описания исследованных «элементарных» процессов в единую систему уравнений математического описания объекта моделирования автоматики.

Если теоретико-физическим методом разрабатывается детерминированная динамическая модель систем автоматического управления, то составлению уравнений баланса предшествует разделение объекта моделирования на элементарные (одно емкостные) участки, в пределах которых вы­ходные переменные автоматики принимаются независимыми от пространственных координат.

Для каждого участка с помощью рассмотренной выше методики записывается дифференциальное уравнение переходного процесса систем автоматического управления. Составив дифференциальные уравнения для всех элементарных участков, получают систему уравнений, описывающих динамику объекта моделирования в целом.

При необходимости за счет исключения про­межуточных переменных автоматики (выходных пере­менных предыдущего и входных переменных последующего участков) переходят к одному дифференциальному уравнению более высо­кого порядка. Число элементарных участков систем автоматического управления определяет порядок дифференциального уравнения, поэтому при его выборе стремятся к достижению разумного компромисса между точностью модели и ее сложностью, принимая на начальной или конечной стадии построения модели ряд обоснованных допущений.

При построении математических моделей систем автоматического управления рассматриваемым методом кроме уравнений баланса масс и энергии и уравнений «элементарных» процессов используют тео­ретические, полу эмпирические или эмпирические соотношения между различными пара­метрами процесса, в основном для расчета значений параметров модели и ограничения где на переменные процесса. Чаще всего на управляемые переменные автоматики накладываются регламентные ограничения, а на управляющие воздействия — ограничения по ресурсам.

Применение математической модели систем автоматического управления связано с решением системы уравнений этой моде модели аналитически или при использовании общих методов численного анализа. Поэтому при построении математической модели автоматики необходимо учитывать возможность данных методов.

После построения математической модели систем автоматического управления разрабатывается моделирующий алгоритм, в представляющий собой, чаще всего, последовательность операций, которые необходимо этом выполнить над уравнениями математического описания, чтобы найти значения выходных переменных модели при заданных значениях входных переменных. Возможно решение на модели и обратной задачи, однако в этом случае необходимо учитывать физическую реализуемость режима систем автоматического управления, задаваемого значениями выходных переменных.

Необходимость разработки специального моделирующего алгоритма отпадает в тех несложных случаях, когда возможно аналитическое решение системы уравнений математического описания систем автоматического управления. Если математическое описание представляет добей сложную система конечных и дифференциальных уравнений, то его практическая применим зависит от эффективности моделирующего алгоритма, особенно при решении задач оптимизации автоматики.

Разработка моделирующего алгоритма систем автоматического управления ведется в той же последовательности, что и разработка алгоритма управления. Наиболее перспективно здесь использование методов имитационного моделирования автоматики.

Завершается разработка модели проверкой ее адекватности объекту моделирования систем автоматического управления, при которой сравниваются результаты экспе­риментальных исследований (как правило, при использовании активного метода) с ре­зультатами вычислений при решении уравне­ний модели для идентичных условий. При­чем по результатам экспериментальных ис­следований возможна корректировка зна­чений ее параметров (параметрическая идентификация) для повышения точности модели автоматики.

Оценка адекватности модели по выраже­нию тем точнее, чем больше изме­ряемых переменных включено в это выраже­ние. Функцию Ф можно использовать и для корректировки параметров модели, опреде­ляя такую совокупность их значений, кото­рая минимизировала бы Ф. Разработаны ме­тоды регуляризации возникающих при этом некорректных задач определения пара­метров модели систем автоматического управления.

Иногда возникает необходимость в про­верке адекватности составляющих теорети­ко-физической модели автоматики при ее построении, на­пример, подтверждение справедливости гипо­тезы о механизме реакции на этапе составле­ния кинетической модели систем автоматического управления или правильности выбора вида гидродинамической модели.

Формальные методы разработки статических моделей систем автоматического управления

Наибольшее распространение среди фор­мальных методов разработки статических моделей систем автоматического управления получили экспериментально-стати­стические методы с применением корреляцион­ного и регрессионного анализов, при которых математическая модель автоматики представляется в виде полинома — отрезка ряда Тейлора, являющегося резуль­татом разложения неизвестной функции связи выходной и входных переменных.

Значения коэффициентов, получаемые при обработке экспериментальных данных, являются оценками соответствующих теоретических коэффициентов систем управления.

При использовании экспериментально-статистических методов входные переменные называют факторами систем автоматического управления, координатное пространство с координатами—факторным пространством, а геометрическое изображение иско­мой функции (функции отклика) в факторном пространстве — поверхностью отклика.

Статическая модель в виде уравнения регрессии удобна для выполнения математиче­ских операций систем автоматического управления, дает возможность использовать ПЛК при обработке экспериментальных данных, однако не несет почти никакой информации о физико-химических механизмах процесса автоматики.

Экспериментально-статистические методы разработки статических моделей систем автоматического управления включают следующие операции: выбор способа экспериментирования (пассивный или активный), предварительный выбор вида уравнения регрессии, планирование активного эксперимента, проведение эксперимента,  включая сбор исходного статистического материала в режиме нормальной эксплуатации при пассивном экспериментировании, определение коэффициентов регрессии, статистический анализ результатов. Последние две операции составляют обработку эксперимен­тальных данных, которая ведется методами корреляционного и регрессионного анализа автоматики.

Пассивный эксперимент систем автоматического управления применяют в тех случаях, когда входные переменные не поддаются целенаправленному изменению. Это связано с целым рядом недостатков пассивных методов:

при проведении эксперимента систем автоматического управления чаще всего поддерживается стабильный режим, при ко­тором колебания входных переменных сво­дят к минимуму. Поэтому изменения выхо­дов в этих условиях обусловлены прежде всего влиянием неконтролируемых входов. Математическая модель, полученная при обработке таких опытных данных, естествен­но, не может быть использована для упра­вления;

ошибки в измерении входов систем автоматического управления, значительно большие при пассивных экспериментах, чем при активных, искажают модель больше, чем ошибки в измерении выходной переменной. Эти искажения могут оказаться настолько большими, что полученные уравнения станут непригодными для анализа и управления автоматики;

корреляция между факторами приводит к корреляции между коэффициентами уравнения регрессии, и ошибка в оценке влияния одного фактора приводит к ошибочной оценке влияния других факторов, которые коррелируются с первым.

Вид уравнения регрессии выбирают на основе анализа априорной информации, ис­ходя из возможности использования линейной модели систем автоматического управления.

При планировании эксперимента опыты ведут по заранее составленной программе, что позволяет свести к минимуму число необходимых опытов и одновременно выявить оптимальное значение искомой функции систем автоматического управления. Вы­бор плана определяется постановкой задачи исследования и особенностями объекта моделирования.

При проведении эксперимента обращают внимание на точность поддержания планируемых значений факторов и точность измерения выходной переменной автоматики. Особое внимание должно быть уделено исключению влияния временного фактора за счет одновременной фиксации переменных в установившемся режиме систем автоматического управления.

Регрессионный анализ полученного уравнения сводится к оценке значимости коэффициентов уравнения и проверке его адекватности. Значимость коэффициентов уравнения регрессии оценивают по критерию Стьюдента.

Существуют и другие способы оценки степени адекватности (идентичности) модели систем автоматического управления объекту-оригиналу, например, с помощью отношения дисперсии условного математического ожидания выходной переменной автоматики относительно входных переменных к общей дисперсии. Предельными значениями этого отношения являются 0 и 1. Чем ближе значение к единице, тем выше степень идентичности модели объекту.

К формальным методам разработки статических моделей относится также метод построения булевых моделей сложных физико-химических систем, основанный на сочетании идей факторного анализа с некоторыми приемами алгебры логики в частности с методом минимизации булевых функций. Его применяют для оперативного обследования объекта систем автоматического управления в режиме нормальной эксплуатации и предварительного анализа влияния различных факторов на ход процесса в тех случаях, когда использование экспериментально-статистических. методов затруднено из-за большого числа факторов влияющих на технологический процесс, и необходимости обработки значительных массивов исходных статистических данных.

В тех случаях, когда природа объекта неизвестно. или при разработке стохастических моделей объектов систем автоматического управления с неизвестными статистическими характеристиками используют методы адаптации, основанные на вероятностных итеративных процедурах. Применяемый в этом случае алгоритм адаптации пригоден и для отыскания оценок коэффициентов регрессии в условиях дрейфа технологических характеристик объекта автоматики методом стохастической аппроксимации.