О формальных методах разработки линейных динамических моделей систем автоматического управления

Для получения линейных динамических моделей систем автоматики могут использоваться детерминированные воздействия, воздействия в виде искусственной стационарной случайной функции (активный эксперимент) и флуктуации входных переменных в режиме нормальной эксплуатации объекта (пассивный эксперимент).

При подаче на вход объекта детерминированного гармонического воздействия на его выходе в установившимся режиме будет получен периодический, в общем случае несинусоидальный сигнал сложного гармонического состава систем автоматики.

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) графически представляется в виде годографа, который при изменении угловой частоты описывает на комплексной плоскости вектор с модулем.

Наиболее общей формулой представления модели является дифференциальное уравнение систем автоматики.

При использовании случайных воздействий основными характеристиками являются одномерные и многомерные функции распределения, плотности распределения, корреляционные функции и спектральные характеристики систем автоматики. Наиболее часто используют корреляционную функцию или спектральную плотность, причем переход от первой ко второй может быть осуществлен с помощью преобразования Фурье. Связи между статистическими характеристиками случайных функций на входе и выходе линейного объекта и характеристиками, получаемыми при использовании детерминированных входных воздействий, определяются зависимостями систем автоматики.

Формальные методы разработки линейных динамических моделей включают следующие операции: выбор способа экспериментирования (пассивный или активный), предварительный выбор структуры модели систем автоматики (при отсутствии необходимой априорной информации эта операция не выполняется), подготовка и планирование эксперимента, проведение эксперимента, обработка результатов эксперимента и их анализ.

Несмотря на то, что при пассивных методах отсутствует необходимость в специальных испытательных воздействиях, при разработке динамических моделей систем автоматики их применяют только в тех случаях, когда нет возможности подать пробный сигнал (например, при анализе сложных многомерных, многосвязных объектов с наблюдаемыми, но не управляемыми входами).

Малая эффективность пассивных методов обусловливается рядом обстоятельств: амплитуда взаимокорреляционной функции из-за сравнительно небольшой амплитуды случайного входного сигнала обычно составляет 2-10% динамического диапазона измерительного комплекса, что приводит к большим погрешностям в определении статистических характеристик систем автоматики;

невозможность непосредственного измерения возмущений, в частности, из-за неопределенности места их приложения;

нестационарное большинства реальных случайных процессов систем автоматики;

коррелированность сигналов входа и выхода объектов, охваченных контурами систем регулирования.

Проведение экспериментов с системами автоматического управления

При активном экспериментировании характер пробного сигнала (апериодический, периодический, псевдослучайный) выбирают с учетом назначения модели систем автоматики, свойств объекта» сокращения длительности эксперимента, упрощения последующих вычислений, уменьшения дисперсии оценок. Подготовку эксперимента начинают с предварительного изучения объекта исследования, выбора и подготовки необходимой аппаратуры. При планировании эксперимента уточняют вид пробного воздействия, его амплитуду на другие параметры систем автоматики, определяют начальные значения переменных и составляют программу проведения экспериментов.

Отличие пробного сигнала в виде реального скачка от идеального, трапецеидального импульса от прямоугольного и трапецеидальной волны от прямоугольной связано с тем что у идеальных сигналов время внесения возмущения принято равным нулю. При использовании периодических входных сигналов объект в процессе эксперимента находится в режиме установившихся колебаний, что обеспечивает основное преимущество этого метода перед методами определения временных характеристик, когда объект систем автоматики находится в режиме перехода из одного установившегося состояния в другое Это преимущество связано прежде всею с тем, что участки записи установившихся колебаний, искаженные помехами, возникающими в процессе проведения эксперимента легко выделяются и исключаются из последующей обработки, в то время как в переходных и импульсных характеристиках такие операции в большинстве случаев не осуществимы, что снижает точность измерения.

Для получения надежной оценки реакции объекта систем автоматики опыты повторяют не менее 4 - 5 раз при одной нагрузке объекта через время, большее времени переходного процесса. Существуют различные схемы подготовки, планирования и проведения экспериментов по определению временных и частотных характеристик.

К активным методам относят также псевдопассивный, при котором в качестве пробного сигнала используют некоторый искусственный случайный процесс со стабильными статистическими характеристиками (чаще всего - наиболее просто реализуемые двоичные последовательности максимальной Длины). Организация эксперимента при использовании псевдослучайного метода и последующая обработка его результатов просты, длительность на порядок ниже, чем при частотном, однако последний обеспечивает на порядок выше точность определения динамических характеристик систем автоматики. Методика проведения и обработки результатов при псевдослучайном методе подобна методике пассивного метода.

Последовательность операций при обработке экспериментальных данных и получаемый в результате обработки математической модели систем автоматики прежде всего зависят от вида экспериментальной характеристики, условий проведения эксперимента, дальнейшего использования математической модели, принятого способа идентификации.

Если в процессе проведения эксперимента вместе с переменной характеристикой исследуемого объекта, которая является регулярной гладкой функцией, измеряется и некоторая случайная функция как результат наложения шума на эту регулярную функцию, то задача сглаживания экспериментальных данных. Ее обычно решают путем аппроксимации временной характеристики объекта конечным числом членов быстро сходящегося ряда по некоторой системе базисных функций, и качестве которой могут использоваться функции Лежандра, Чебышева или система тригонометрических функций. Если для дальнейшего использования нет необходимости представлять динамическую модель в виде передаточной функции, то перечисленные функции, а также функции Якоби-Каутца могут быть использованы для аппроксимации экспериментальной динамической характеристики систем автоматики.

При обработке экспериментальных временных характеристик для корректировки времени начала эксперимента проводят замену непрямоугольных входных воздействий прямоугольными из условия равенства площадей, ограниченны соответствующими пробными функциями.

При обработке экспериментальных частотных характеристик систем автоматики, полученных в виде гармонических колебаний, неискаженных нелинейностями и шумами, используют несколько периодов установившихся колебаний, не искаженных помехами, и определяют амплитуды входных и выходных колебаний и их период. Если пробный сигнал имеет негармоническую форму или входные и выходные колебания искажены шумами и нелинейностями, то производят разложение функций в ряд Фурье с выделением первой гармонической составляющей для прямоугольной волны.

Колебания выходной величины при использовании перечисленных пробных периодических воздействий могут быть близкими к гармоническим и не нуждаться в дополнительной обработке, если объект обладает хорошими фильтрующими свойствами и частота опыта).

Для аппроксимации экспериментальных значений может быть использован метод разложения в ряд Фурье. С помощью переходных функций возможна как параметрическая, так и полная идентификация динамической модели систем автоматики. Параметрическую идентификацию применяют для решения значительной части инженерных задач, когда для математического описания динамики объекта используют дифференциальное уравнение первого или второго порядка запаздывающим аргументом. В этом случае априорно задаются видом передаточной функции, а переходной обработки экспериментальной переходной характеристики определяют числовые значения параметров функции параметров передаточной функции.

Наибольшие трудности возникают с определением временных параметров. Для получения их значений в первой и второй передаточных функциях обычно используют интерполяционный метод Ормана. Для определения второй передаточной функции используют метод Ольдербурга и Сарториуса. Третья передаточная функция соответствует уравнению, которое имеет простые кратные корни. Кратность корня может быть определена из номограммы или путем сравнения точности приближения расчетных переходных функций к экспериментальным для разных n.

Для полной идентификации динамической модели систем автоматики, по переходной характеристике используют логарифмический метод его модификацию, метод «площадей», метод моментов и другие методы.

При пассивном экспериментировании подготовка и планирование эксперимента начинают с выяснения практической возможности и целесообразности применения пассивного метода. Для этого с помощью анализа диаграмм эксплуатационных регистрирующих приборов и записей в оперативных журналах устанавливают, являются ли входные воздействия (контролируемые и неконтролируемые) взаимно независимыми и можно ли рассматривать процессы изменения входных и выходной величины как стационарные эргодические случайные процессы.

Для записи реализаций рекомендуется использовать специальную аппаратуру систем автоматики с такой шкалой регистратора, при которой диапазон изменения случайной величины находится в пределах 30 - 90% его шкалы.

Длину реализации определяют при планировании эксперимента либо по угловой частоте наиболее низкочастотных колебаний, либо по значению.

При обработке результатов эксперимента непрерывные реализации преобразуют в цифровую форму путем квантования по времени и по величине. Квантование по величине связано с точностью записи случайной величины на диаграмме регистратора.