О теоретическом методе разработки детерминированных моделей статики и динамики систем автоматического управления
Кроме перечисленных выше этапов (выделение объекта, выбор вида математической модели систем автоматического управления и способа ее разработки) при использовании теоретического метода построения модели необходимо реализовать выбранный способ разработки модели, разработать моделирующий алгоритм и проверить адекватность модели объекту. Реализация выбранного способа для автоматики объектов химической и других подобных технологий осуществляется в определенной последовательности.
1. Составляется уравнение материального и энергетического баланса:
для статической модели систем автоматического управления:
- приток вещества — сток вещества;
- приток тепловой энергии = сток тепловой энергии;
для динамической модели систем автоматического управления:
- приток вещества = сток вещества=накопление вещества;
- приток тепловой энергии = сток тепловой
- энергии = накопление тепловой энергии.
2. Для введения в уравнение баланса основных переменных объекта моделирования автоматики проводят анализ отдельных «элементарных» процессов. Вначале исследуют гидродинамическую модель процесса как основу структуры математического описания. Далее изучают кинетику химических реакций, процессов массообмена и теплообмена с учетом гидродинамических условий и составляют математическое описание каждого из этих процессов систем автоматического управления. На заключительном этапе объединяют описания исследованных «элементарных» процессов в единую систему уравнений математического описания объекта моделирования автоматики.
Если теоретико-физическим методом разрабатывается детерминированная динамическая модель систем автоматического управления, то составлению уравнений баланса предшествует разделение объекта моделирования на элементарные (одно емкостные) участки, в пределах которых выходные переменные автоматики принимаются независимыми от пространственных координат.
Для каждого участка с помощью рассмотренной выше методики записывается дифференциальное уравнение переходного процесса систем автоматического управления. Составив дифференциальные уравнения для всех элементарных участков, получают систему уравнений, описывающих динамику объекта моделирования в целом.
При необходимости за счет исключения промежуточных переменных автоматики (выходных переменных предыдущего и входных переменных последующего участков) переходят к одному дифференциальному уравнению более высокого порядка. Число элементарных участков систем автоматического управления определяет порядок дифференциального уравнения, поэтому при его выборе стремятся к достижению разумного компромисса между точностью модели и ее сложностью, принимая на начальной или конечной стадии построения модели ряд обоснованных допущений.
При построении математических моделей систем автоматического управления рассматриваемым методом кроме уравнений баланса масс и энергии и уравнений «элементарных» процессов используют теоретические, полу эмпирические или эмпирические соотношения между различными параметрами процесса, в основном для расчета значений параметров модели и ограничения где на переменные процесса. Чаще всего на управляемые переменные автоматики накладываются регламентные ограничения, а на управляющие воздействия — ограничения по ресурсам.
Применение математической модели систем автоматического управления связано с решением системы уравнений этой моде модели аналитически или при использовании общих методов численного анализа. Поэтому при построении математической модели автоматики необходимо учитывать возможность данных методов.
После построения математической модели систем автоматического управления разрабатывается моделирующий алгоритм, в представляющий собой, чаще всего, последовательность операций, которые необходимо этом выполнить над уравнениями математического описания, чтобы найти значения выходных переменных модели при заданных значениях входных переменных. Возможно решение на модели и обратной задачи, однако в этом случае необходимо учитывать физическую реализуемость режима систем автоматического управления, задаваемого значениями выходных переменных.
Необходимость разработки специального моделирующего алгоритма отпадает в тех несложных случаях, когда возможно аналитическое решение системы уравнений математического описания систем автоматического управления. Если математическое описание представляет добей сложную система конечных и дифференциальных уравнений, то его практическая применим зависит от эффективности моделирующего алгоритма, особенно при решении задач оптимизации автоматики.
Разработка моделирующего алгоритма систем автоматического управления ведется в той же последовательности, что и разработка алгоритма управления. Наиболее перспективно здесь использование методов имитационного моделирования автоматики.
Завершается разработка модели проверкой ее адекватности объекту моделирования систем автоматического управления, при которой сравниваются результаты экспериментальных исследований (как правило, при использовании активного метода) с результатами вычислений при решении уравнений модели для идентичных условий. Причем по результатам экспериментальных исследований возможна корректировка значений ее параметров (параметрическая идентификация) для повышения точности модели автоматики.
Оценка адекватности модели по выражению тем точнее, чем больше измеряемых переменных включено в это выражение. Функцию Ф можно использовать и для корректировки параметров модели, определяя такую совокупность их значений, которая минимизировала бы Ф. Разработаны методы регуляризации возникающих при этом некорректных задач определения параметров модели систем автоматического управления.
Иногда возникает необходимость в проверке адекватности составляющих теоретико-физической модели автоматики при ее построении, например, подтверждение справедливости гипотезы о механизме реакции на этапе составления кинетической модели систем автоматического управления или правильности выбора вида гидродинамической модели.
Формальные методы разработки статических моделей систем автоматического управления
Наибольшее распространение среди формальных методов разработки статических моделей систем автоматического управления получили экспериментально-статистические методы с применением корреляционного и регрессионного анализов, при которых математическая модель автоматики представляется в виде полинома — отрезка ряда Тейлора, являющегося результатом разложения неизвестной функции связи выходной и входных переменных.
Значения коэффициентов, получаемые при обработке экспериментальных данных, являются оценками соответствующих теоретических коэффициентов систем управления.
При использовании экспериментально-статистических методов входные переменные называют факторами систем автоматического управления, координатное пространство с координатами—факторным пространством, а геометрическое изображение искомой функции (функции отклика) в факторном пространстве — поверхностью отклика.
Статическая модель в виде уравнения регрессии удобна для выполнения математических операций систем автоматического управления, дает возможность использовать ПЛК при обработке экспериментальных данных, однако не несет почти никакой информации о физико-химических механизмах процесса автоматики.
Экспериментально-статистические методы разработки статических моделей систем автоматического управления включают следующие операции: выбор способа экспериментирования (пассивный или активный), предварительный выбор вида уравнения регрессии, планирование активного эксперимента, проведение эксперимента, включая сбор исходного статистического материала в режиме нормальной эксплуатации при пассивном экспериментировании, определение коэффициентов регрессии, статистический анализ результатов. Последние две операции составляют обработку экспериментальных данных, которая ведется методами корреляционного и регрессионного анализа автоматики.
Пассивный эксперимент систем автоматического управления применяют в тех случаях, когда входные переменные не поддаются целенаправленному изменению. Это связано с целым рядом недостатков пассивных методов:
при проведении эксперимента систем автоматического управления чаще всего поддерживается стабильный режим, при котором колебания входных переменных сводят к минимуму. Поэтому изменения выходов в этих условиях обусловлены прежде всего влиянием неконтролируемых входов. Математическая модель, полученная при обработке таких опытных данных, естественно, не может быть использована для управления;
ошибки в измерении входов систем автоматического управления, значительно большие при пассивных экспериментах, чем при активных, искажают модель больше, чем ошибки в измерении выходной переменной. Эти искажения могут оказаться настолько большими, что полученные уравнения станут непригодными для анализа и управления автоматики;
корреляция между факторами приводит к корреляции между коэффициентами уравнения регрессии, и ошибка в оценке влияния одного фактора приводит к ошибочной оценке влияния других факторов, которые коррелируются с первым.
Вид уравнения регрессии выбирают на основе анализа априорной информации, исходя из возможности использования линейной модели систем автоматического управления.
При планировании эксперимента опыты ведут по заранее составленной программе, что позволяет свести к минимуму число необходимых опытов и одновременно выявить оптимальное значение искомой функции систем автоматического управления. Выбор плана определяется постановкой задачи исследования и особенностями объекта моделирования.
При проведении эксперимента обращают внимание на точность поддержания планируемых значений факторов и точность измерения выходной переменной автоматики. Особое внимание должно быть уделено исключению влияния временного фактора за счет одновременной фиксации переменных в установившемся режиме систем автоматического управления.
Регрессионный анализ полученного уравнения сводится к оценке значимости коэффициентов уравнения и проверке его адекватности. Значимость коэффициентов уравнения регрессии оценивают по критерию Стьюдента.
Существуют и другие способы оценки степени адекватности (идентичности) модели систем автоматического управления объекту-оригиналу, например, с помощью отношения дисперсии условного математического ожидания выходной переменной автоматики относительно входных переменных к общей дисперсии. Предельными значениями этого отношения являются 0 и 1. Чем ближе значение к единице, тем выше степень идентичности модели объекту.
К формальным методам разработки статических моделей относится также метод построения булевых моделей сложных физико-химических систем, основанный на сочетании идей факторного анализа с некоторыми приемами алгебры логики в частности с методом минимизации булевых функций. Его применяют для оперативного обследования объекта систем автоматического управления в режиме нормальной эксплуатации и предварительного анализа влияния различных факторов на ход процесса в тех случаях, когда использование экспериментально-статистических. методов затруднено из-за большого числа факторов влияющих на технологический процесс, и необходимости обработки значительных массивов исходных статистических данных.
В тех случаях, когда природа объекта неизвестно. или при разработке стохастических моделей объектов систем автоматического управления с неизвестными статистическими характеристиками используют методы адаптации, основанные на вероятностных итеративных процедурах. Применяемый в этом случае алгоритм адаптации пригоден и для отыскания оценок коэффициентов регрессии в условиях дрейфа технологических характеристик объекта автоматики методом стохастической аппроксимации.