Об основных понятиях математической статистики, применяемые при проектировании систем автоматического управления

Случайная величина - величина, которая в результате испытания принимает то или иное (но при этом только одно) возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств.

Дискретной называется такая случайная величина программы автоматизированной системы управления, которая принимает конечное или бесконечное множество значений.

Непрерывной называется такая случайная величина программы автоматизированной системы управления, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение слу­чайной величины.

Законом распределения случайной вели­чины называется всякое соответствие между возможными значениями случайной вели­чины и соответствующими им вероятностя­ми. Наиболее общей формой задания закона распределения является функция распределе­ния переменных программы автоматизированной системы управления.

Функция распределения переменных программы автоматизированной системы управления определяет ве­роятность того, что случайная величина X имеет значение, меньшее фиксированного действительного числа.

Функция распределения является неотри­цательной неубывающей функцией.  Функцию распределения иногда называют интегральной функцией.

Дифференциальной функцией распределения переменных программы автоматизированной системы управления является первая производная из интегральной функции. Иногда функцию f(х) называют дифференциальным законом распределения случайной величины X или плотностью распределения вероятности.

Числовые характеристики случайной вели­чины. К ним относятся: математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия, мо­менты переменных программы автоматизированной системы управления.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений щ на их вероятности p_t.

Мода случайной величины также является числовой характеристикой переменных программы автоматизированной системы управления.

Модой М₀ дискретной случайной величины называется наиболее вероятное ее значение переменных программы автоматизированной системы управления.

Модой М₀ непрерывной случайной вели­чины называется такое ее значение, при ко­тором плотность распределения имеет мак­симум.

Бывают двухмодальные и многомодальные распределения. Если распределения имеют минимум, но не имеют максимума, — они называются антимодальными.

Дисперсией случайной величины переменных программы автоматизированной системы управления является математическое ожидание ква­драта отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Недостатком дисперсии является то, что она имеет размерность квадрата случайной величины.

Моменты случайной величины переменных программы автоматизированной системы управления дают наиболее полную характеристику случайной величины.

Распределение случайных величин. Различают равномерное, нормальное, биноми­нальное и другие распределения переменных программы автоматизированной системы управления.

Равномерным распределением непрерыв­ной случайной величины переменных программы автоматизированной системы управления на интервале считается распределение, если на этом интер­вале плотность распределения случайной ве­личины постоянна, а вне его равен нуля.

Нормальным распределением считают рас­пределение переменных программы автоматизированной системы управления, при котором вероятность того, что случайная величина примет значение Х.

Биноминальным распределением является распределение вероятностей появления т со­бытий в п независимых испытаниях, в ка­ждом из которых вероятность появления со- с бытия постоянна и равна Р.

При вычислении вероятностей биноминального распределения полезно следующее соотношение, связывающее два соседних члена.

Биноминальным распределением описы­вается распределение вероятностей только дискретной случайной величины.

Возможными значениями случайной ве­личины х являются т = 0, 1..., п.

Закон распределения Пуассона переменных программы автоматизированной системы управления описывает число событий т, происходящих за одина­ковые интервалы времени при условии, что события происходят независимо одно от другого с постоянной средней интенсив­ностью. При этом число испытаний п вели­ко, а вероятность появления события в ка­ждом испытании Р мала.

Возможными значениями случайной ве­личины х являются m = 0, 1, 2,……..п.

Коэффициент корреляции переменных программы автоматизированной системы управления. Зависимость ме­жду одной случайной переменной и условным средним другой случайной перемен­ной называется корреляционной зависи­мостью. Она характеризуется формой и величиной связи.

Форму связи можно характеризовать функцией регрессии (линейной, квадратич­ной, показательной и др.). Одним из показа­телей связи в случае линейной зависимости между случайными переменными X и Y является коэффициент корреляции.

Если одна переменная разбита на две ча­сти (дихотомизирована), то можно вычис­лить двухсерийный коэффициент корреляции между двумя непрерывными переменными.

Для оценки зависимости качества работы (число бракованных изделий) между группой рабочих со стажем работы до двух лет и группой рабочих со стажем работы более двух лет можно воспользоваться двухсе­рийным коэффициентом корреляции.

Следовательно, после двух лет работы у рабочих существенно увеличивается качество работы системы управления.

Используя точечный двухсерийный коэф­фициент корреляции переменных программы автоматизированной системы управления, можно оценить зависи­мость качества работы между группами ра­бочих женщин и мужчин, а также от смены работы.

Коэффициент корреляции показывает, что отсутствуют какие-либо отличия в качестве работы между рабочими женщинами и мужчинами. Таким образом, имеется несущественная зависимость между качеством работы рабо­чих в первую и вторую смену.

Применяя коэффициент корреляции Ф, можно оценить зависимость частоты выхо­дов во вторую смену мужчин и женщин.

В данном случае исходными данными являются:

• число выходов женщин во вторую смену А=5;
• число выходов мужчин во вторую смену В = 4;
• число выходов женщин в первую смену С=5;
• число выходов мужчин в первую смену D =2.

Данный коэффициент корреляции переменных программы автоматизированной системы управления показы­вает, что имеется незначительная статистиче­ская зависимость в более частом выходе му­жчин во вторую смену по сравнению с женщинами.

Проверка статистических гипотез. Под статистическими гипотезами переменных программы автоматизированной системы управления подразуме­ваются гипотезы, которые относятся или к виду, или к отдельным параметрам распре­деления случайной величины.

Для проверки гипотез о законе распреде­ления используют критерии согласия Пирсо­на, Колмогорова, Смирнова и др.

Проверка гипотез, относящихся к от­дельным параметрам случайных величин, выполняется с помощью F-pacпpeделения Фишера - Снедокора, t — распределения Стьюдента и др.