О формальных методах разработки нелинейных динамических моделей систем автоматического управления

Методы этой группы применимы для разработки как линейных, так и нелинейных моделей систем автоматики, однако ввиду сложности их исполь­зуют только во втором случае на основании оценки степени нелинейности объекта. Для объектов, степень нелинейности которых ма­ла, используют линейные модели при усло­вии, что погрешности, возникающие при ли­неаризации нелинейных моделей, лежат в допустимых пределах. В противном случае применяют нелинейные модели систем автоматики.

Среди формальных методов разработки нелинейных динамических моделей значи­тельную группу составляют методы стати­стической теории нелинейных систем автоматики, к ко­торым относят:

• методы, основанные на использовании дисперсионной и взаимодисперсионной функций случайных процессов и оперирую­щие с многомерными законами распределе­ния случайных функций; эти методы приме­няют для  систем автоматики массовых технологических процес­сов при производстве однородной продукции в течение длительного времени;
• метод линеаризации нелинейной регрес­сии на участках с постоянными значениями математического ожидания условной диспер­сии случайной функции на выходе объекта систем автоматики относительно входной случайной функ­ции;
• метод, основанный на использовании спе­циального входного тестового сигнала систем автоматики, при котором неизвестные параметры объекта определяют, как коэффициенты оператора в гильбертовом пространстве; ограни­чения в применении этого метода связаны с его непригодностью для нестационарных объектов, трудностями перехода от коэффи­циентов к технологическим параметрам хи­мико-технологических объектов, затрудне­ниями реализации этого метода в режиме нормальной эксплуатации систем автоматики;
• метод, основанный на применении аппа­рата условных марковских процессов.

Все большее распространение получают идентификации методом адаптивной модели систем автоматики. Чаще всего используют параметрическую адаптивную модель, у которой изменяются пара­метры при неизменной структуре. Однако и возможно применение модели, у которой и в процессе адаптации меняются не только параметры, но и структура.

При построении адаптивной модели необходимо выбрать меру ошибки между выходами модели и объекта и разработать алгоритм поиска неизвестных параметров систем автоматики из условий минимизации выбранной меры ошибки. В качестве меры ошибки можно использовать среднюю квадратическую ошибку, максимальное значение ошибки, интеграл от квадрата ошибки, интеграл от абсолют­ного значения ошибки, статистические крите­рии максимума апостериорной вероятности и максимума правдоподобия, различные ва­рианты названных критериев с использова­нием функций веса.

При разработке алгоритма поиска не­известных параметров предпочтительными являются методы случайного поиска, гра­диентный метод и его стохастический ана­лог — метод стохастический аппроксимации. При наличии локальных экстремумов и сед­ловых точек рекомендуется на первых шагах алгоритма систем автоматики использовать метод слу­чайного поиска, позволяющий исключать ло­кальные экстремумы и находить решение при достаточно «гладких» помехах. На по­следующих шагах такого алгоритма приме­няют градиентные методы, а также методы «наискорейшего спуска» и «перебора овра­гов».

Для построения адаптивных статистиче­ских моделей часто используют байесовский подход к решению задач идентификации, суть которого состоит в использо­вании результатов измерения для улучшения оценки «-мерного вектора выходных пере­менных объекта.

В этом случае по результатам измерений определяют m-мерный вектор измерений у и переходят от априорной плотности распре­деления к апостериорной плотности распределений. Такая процедура может повто­ряться после каждого измерения. При этом апостериорная плотность распределения, ко­торая получается на основе предыдущих измерений, становится априорной плот­ностью распределения для последующих измерений систем автоматики.

Для решения задач идентификации объек­тов химической технологии возможно применение также теории оптимальной фильтрации Кальмана.

Графические формы представления моделей систем автоматического управления

 

Обобщенные (качественные) иконографи­ческие модели используют на всех стадиях разработки моделей систем автоматики для получения общего оператор представления о процессе функционирования, элементах, исходных, промежуточных и конечных продуктах объекта моделирова­ния. К таким моделям относятся параметрические, технологические, структурные, операторные и функциональные схемы.

Математические иконографические модели систем автоматики используют для анализа и синтеза как технологических комплексов, так и систем управления ими. К таким моделям относятся топологические модели, построенные с ис­пользованием графов, и структурные схемы, применяемые при анализе и синтезе систем автоматического регулирования.

При построении структурных схем ис­пользуют два оператора: оператор умноже­ния переменной на постоянную величину и оператор алгебраического сложения двух переменных.

Структурные схемы чаще всего приме­няют для графического представления си­стемы линейных дифференциальных уравне­ний, преобразованных по Лапласу в соответ­ствующие алгебраические. Одно дифферен­циальное уравнение, описывающее динами­ческую связь между двумя величинами систем автоматики может быть представлено по такой схеме в виде прямоугольника, внутри ко­торого указана передаточная функция, полученная в результате преобразования по Лапласу дифференциального уравнения, с изображениями переменных.

Для решения уравнений, представленных в виде структурных схем, можно использовать принципы структурного моделирования ли­нейных динамических систем. В этом случае по дифференциальным уравнениям (передаточным функциям) отдельных дина­мических звеньев составляют аналоговые модели таких звеньев, которые затем соеди­няют между собой так же, как звенья-ори­гиналы.

Значительное распространение в послед­нее время получила другая группа иконогра­фических математических моделейсистем автоматики , по­строенных с применением графов. Для из­ображения графа используют точки, назы­ваемые вершинами, или узлами, и отрезки линий, называемые ребрами, или дугами). В общем случае граф определяют две математические величины — множество и соответствие.

Приведем основные понятия и определе­ния, используемые в теории графов систем автоматического управления.

Конечный граф систем автоматического контроля и управления — граф с конечным числом вершин. Т-конечный граф — для каждой из вершин которо­го множество конечно.

Нуль-граф систем автоматического контроля и управления — граф, состоящий из изолированных вершин, не соединенных ребрами.

Ориентированный (направленный) граф систем автоматического контроля и управления — граф с изображением, позволяющим определить начало и конец ребра.

Ребро графа систем автоматического контроля и управления - отрезок, соединяющий вершины не­ориентированного графа.

Дуга графа систем автоматического контроля и управления — отрезок, соединяющий вершины, ориентированного графа.

Смежные вершины графа систем автоматического контроля и управления — вершины, имеющие об­щее ребро или дугу.

Смежные дуги (ребра) графа систем автоматического контроля и управления — дуги, имеющие об­щую вершину.

Ребра (дуги), инцидентные вершине систем автоматического контроля и управления — ребра, свя­занные с неизолированной вершиной.

Степень вершины систем автоматического контроля и управления — число ребер, инцидентных дан­ной вершине.

Путь систем автоматического контроля и управления — последовательность дуг, при которой конец одной дуги является началом другой.

Элементарный путь систем автоматического контроля и управления — путь, в котором ни одна вершина дважды не встречается.

Контур систем автоматического контроля и управления — путь, у которого начальная и конечная точки совпадают.

Элементарный контур систем автоматического контроля и управления — контур, все вершины кото­рого, кроме начальной и конечной, различны.

Длина пути (контура) систем автоматического контроля и управления — число дуг, образующих путь (контур).

Петля систем автоматического контроля и управления — контур единичной длины (с одной верши­ной).

Цепь систем автоматического контроля и управления — последовательность смежных ребер.

Цикл систем автоматического контроля и управления — замкнутая цепь.

Простой узел (вершина) систем автоматического контроля и управления - вершина направленного графа, к которой подходят (уходят) несколько ветвей, и которая не входит в замкнутый контур или петлю обратной связи.

Простой цикл систем автоматического контроля и управления - цикл, содержащий отличные друг от друга ребра.

Элементарный цикл систем автоматического контроля и управления — цикл, при обходе которого по какому-либо направлению каждая вершина встречается только один раз.

Связный граф систем автоматического контроля и управления — граф, у которого для каждой пары вершин существует соединяющая их цепь.

Несвязный граф систем автоматического контроля и управления – граф, состоящий из нескольких связных графов или частей.

Полный граф систем автоматического контроля и управления — граф, у которого любая пара вер­шин соединяется ребром.

Мультиграф систем автоматического контроля и управления — граф, у которого одна пара вершин соединяется несколькими ребрами.

Симметричный граф систем автоматического контроля и управления — граф, у которого каждая па­ра вершин связана дугами противоположного на­правления.

Асимметричный граф систем автоматического контроля и управления — граф, у которого хоть одна пара смежных вершин связана одной дугой.

Изоморфные графы систем автоматического контроля и управления — графы, имеющие одинаковое число вершин при условии, что каждой паре вершин в одном графе соответствует такая же пара вершин, которые соединены ребром в другом гра­фе.

Подграф систем автоматического контроля и управления — граф, содержащийся в исходном графе

Дополнение подграфа систем автоматического контроля и управления — граф, состоящий из вершин и ребер, которыми исходный граф отличается от подграфа.

Дерево связного графа систем автоматического контроля и управления — связной граф без циклов

Ветви систем автоматического контроля и управления - ребра (дуги), входящие в дерево.

Хорды систем автоматического контроля и управления —ребра (дуги), входящие в дополнение де­рева.

Лагранжевое дерево систем автоматического контроля и управления — дерево, все ветви которого имеют общую вершину.

Лес систем автоматического контроля и управления — совокупность деревьев несвязного графа.

Преобразование графа систем автоматического контроля и управления — приведение графа одной топологии к равносильному графу другой тополо­гии.

Передача ветви систем автоматического контроля и управления — коэффициент или передаточная функция, характеризующая связь между вершина­ми (переменными) направленного графа.

На выбор типа графа оказывает влияние прежде всего удобство его применения. Для построения графов по функциональной или структурной схеме используют М-граф.

С помощью этих графов разработаны методы построения топологических моделей химико-технологических систем. Описание систем автоматического управления с помощью К-графов можно использовать для синтеза этих систем. Н-графы, во многом сходные с К-графами, применяются в тех случаях анализа, когда требуется исключение переменных, например, при опреде­лении параметров четырехполюсников.

Каждую структурную схему можно пере­строить в разнозначный ей граф, используя таблицу идентичности элементов структурной схемы и элементов графа.

При использовании графов часто возникает задача их преобразования, чаще всего с целью упрощения.

Одним из методов преобразования графа систем автоматического контроля и управления является инверсия его пути.

• Таким образом, для перехода от исходно­го к инвертированному графу необходимо: изменить направление всех ветвей пути на противоположное;
• передачи всех ветвей, находящихся на пу­ти от новой причины к новому следствию, изменить на обратные;
• перенести конец ветви, соединяющей узлы, не являющиеся причиной и следствием или не принадлежащие прямому пути, в узел, в который переносится инвертируемая ветвь, оставив начало ее в старом узле;
• умножить ее передачу на величину, обратную передаче инвертируемой ветви по величине и знаку.

Топологические модели, построенные с использованием графов, применяют для решения задач анализа и синтеза химико-технологических систем и систем автоматического управления ими. Применяемые при этом графы классифицируют следующим обра­зом.

Потоковые графы могут быть мате­риальными, тепловыми (энергетическими) и параметрическими. Материальные пото­ковые графы (МПГ) в свою очередь подраз­деляют на графы по общему массовому рас­ходу физических потоков (МПГО) и графы по массовому расходу некоторого химиче­ского компонента.

Вершины материальных и тепловых потоковых графов соответствуют элементам химико-технологических автоматизированных систем, которые из­меняют соответствующие массовые или тепловые расходы физических потоков, источникам и стокам потока; дуги этих графов — массовым или тепловым потокам, идей Характерными особенностями графов по об­щему массовому расходу физических потоков и тепловых потоковых графов является ориентированность, асимметричность и связ­ность. Граф по массовому расходу некоторого химического компонента может быть, как и по связным, так и несвязным.

Параметрический потоковый граф (ППГ) иные получается, если совместить вершины материальных и тепловых потоковых графов, отвечающие одному и тому же элементу одной и той же химико-технологической автоматизированной системы.  Параметрические потоковые графы являются конечными, ориентированными, асимме­тричными, связными.

Структурный граф систем автоматического контроля и управления — это совокупность полюсных графов компонентов, образованная в соответствии с соединением компонентов в системе. Причем под компонентами понимают элементы химико-технологической системы, характеризующиеся определенными свойствами: создающие потенциальную или кинетическую энергию (компоненты-источни­ки), рассеивающие энергию (компоненты противления), накапливающие вещество или энергию (емкостные компоненты), создаю­щие инерционный эффект массы в потоке ве­щества (индуктивные компоненты).             Системные компоненты объединяются с по­мощью точек (полюсов) связи.

Информационно-потоковый мультиграф систем автоматического контроля и управления состоит из вершин, соответствующих информационным операторам элементов, источни­кам и приемникам информационных переменных системы, и ветвей, отображающих информационные потоки переменных.

Сигнальные графы (СГ) систем автоматического контроля и управления выявляют взаимные причинно-следственные связи между переменными, характеризующими процесс функционирования системы. Вершины сигнального графа соответствуют сигналам химико-технологической системы, а ветви —коэффициентам или передаточным функциям, характеризующим связь между этими сигналами.

Из перечисленных типов графов, приме­няемых для анализа и синтеза химико-техно­логических систем, сигнальные графы легко перестраиваются в структурные схемы с по­мощью таблицы идентичности элементов структурной схемы и элементов графа.

Для построения, нормализованного сиг­нального графа система исходных уравнений должна быть записана так, чтобы в каждом уравнении коэффициент при одной перемен­ной был равен единице.